2. A partir de dos figuras, utiliza la definición de semejanza en relación con las transformaciones de semejanza para decidir si son semejantes; explica, utilizando las transformaciones de semejanza, el significado de la semejanza de triángulos como la igualdad de todos los pares correspondientes de ángulos y la proporcionalidad de todos los pares correspondientes de lados.

Los estudiantes ya deberían estar familiarizados con las transformaciones, al menos hasta el punto de saber qué conlleva modificar o trasladar una figura, más allá de decir ¡Abracadabra! Sin embargo, conviene que sepan qué es la traslación, la reflexión, la rotación y la dilatación. Los trucos de magia son divertidos y todo, pero no tan útiles a la hora de determinar la semejanza.

Los estudiantes ya deberían saber que si pueden realizar una transformación rígida para trasladar una forma hacia otra, las dos formas son congruentes. Si agregamos la dilatación a esta mezcla (ya sea una contracción o una ampliación), podemos con seguridad decir que las dos formas son semejantes.

Si bien esas reglas básicas se aplican a casi cualquier figura bidimensional que te puedas imaginar (aunque quizá resulte súper engorroso tratar de verificar la semejanza de dos dodecágonos), los triángulos reciben un tratamiento especial. De hecho, los triángulos son como la realeza de la geometría; aunque sin los perros galeses.

Dado que son tan pequeños y fáciles, podemos utilizar triángulos para adentrarnos de verdad en la esencia de lo que es la semejanza. Supongamos que tenemos dos triángulos, ΔABC y ΔPQR, que son congruentes entre sí.

Entonces, podemos contraer a ΔABC para que se reduzca a la mitad del tamaño del ΔPQR. (Esto es un factor de escala de 0.5. Pista, pista). La dilatación sigue siendo una transformación de semejanza, por lo tanto si bien ya no son congruentes, los dos triángulos son semejantes.

Los estudiantes deben saber que si bien la longitud de los lados de ΔABC han cambiado, sus ángulos no lo han hecho. Pueden decir, "¡Eh! Esos dos triángulos tienen medidas de ángulos semejantes, pero no son del mismo tamaño." Si oyes algo así, es una buena señal.

Esto significa que dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son iguales. De hecho, los estudiantes pueden llevar esto a un nivel aún mayor. Toda vez que dos polígonos de distinto tamaño tienen las mismas medidas en sus ángulos internos, los polígonos son semejantes.

Así que eso son los ángulos. ¿Y qué hay de las longitudes de los lados? Nuestro factor de escala nos dice cómo relacionar entre sí la longitud de los lados de triángulos semejantes. Las proporciones de las longitudes de los lados correspondientes siempre deberían dar el mismo factor de escala. Si dos formas son semejantes, estas proporciones de las longitudes de los lados correspondientes equivaldrán al mismo número, es decir, el factor de escala.

Una buena forma de asegurarse de que los estudiantes hayan afianzado todo este conocimiento, es pedirles que midan los lados de figuras semejantes con una regla y sus ángulos con un transportador. Luego, dales otro grupo de figuras que son casi semejantes. Así, los estudiantes se darán cuenta de que las medidas de los ángulos de la figura afectan la proporción de la escala que calculan utilizando la longitud de los lados.