5. Deriva, utilizando la semejanza, el hecho de que la longitud del arco interceptado por un ángulo es proporcional al radio, y define la medida del radián del ángulo como la constante de proporcionalidad; deriva la fórmula del área de un sector.

Es fácil para los estudiantes memorizar las fórmulas y, de hecho, muchos de ellos no tienen ningún problema para hacerlo. Las fórmulas son su pasaje para viajar en el Tren de las Matemáticas, que los lleva desde el álgebra hasta la geometría, para terminar en el cálculo. Avanzan humeando sin preocupación alguna hasta que se topan con un obstáculo: la estación de la derivación.

Oh, no. Hasta ahora, lo único que han hecho es memorizar. ¿Cómo llegarán a la Ciudad del Cálculo?

No hay nada de que preocuparse. La estación de la derivación solo consiste en usar fórmulas que ya conocen, aplicarlas en forma lógica y sacar la fórmula. En este caso, se trata de la longitud del arco. (Sugerencia: ¡asegúrate de que tus alumnos sepan que esto no es lo mismo que la medida del arco!).

Primero los estudiantes deben dibujar un círculo con radio r y un ángulo central de θ. En términos visuales, debería quedar claro que la longitud del arco s depende tanto del ángulo central como del radio. Si consideramos a la circunferencia C como una gran longitud de arco, podremos ver que su ángulo central es 360° (o 2π radianes). Si C= 2πr, la longitud del arco debería ser igual al ángulo central (en radianes) multiplicado por el radio, o s = θr.

Si los estudiantes no están muy familiarizados con los radianes, asegúrate de tomarte el tiempo para explicárselos. Puede ser difícil pasar de grados a radianes, pero puedes usar la ecuación de la circunferencia para pasar del uno al otro. (Tenemos 2π como el factor, pero de alguna manera tiene que provenir de  360°. Si decimos que 360k = 2π y despejamos a k, tenemos el factor de conversión de grados a radianes. ¡Hurra!).

Asimismo, los estudiantes deben poder derivar la fórmula para el sector de un círculo. Así como usamos C = 2πr para hallar la longitud del arco, podemos usar A = πr² para determinar el área de un sector. Esta vez, los 360º se traducen a π, no a 2π. Eso significa que estamos dividiendo el ángulo por 2, así que la fórmula debe ser A = ½θr².

Lo importante que hay que recordar aquí es que θ se expresa en radianes. Puedes explicarles que un radián es aproximadamente 57.3°, y es el ángulo en el cual la proporción de la longitud del arco al radio es 1:1 y que es una banda de música experimental australiana. A propósito, decirles lo último es opcional.

Asegúrate de que todo el concepto de los radianes no quede perdido en la mente de tus alumnos. Si sientes que los radianes los confunden más de lo debido, pídeles que midan el radio de un círculo e indiquen un arco de la misma longitud. Entonces, los estudiantes podrán medir los ángulos centrales que intersecan el arco con sus transportadores. Aún si lo hacen con círculos de distintos tamaños, la medida del ángulo no debería cambiar. Eso es un radián.