2. Proporciona un argumento informal utilizando el principio de Cavalieri para las fórmulas de volumen para una esfera y otras figuras sólidas.

Desde los ecosistemas a la vida dentro de las células, la biología ha inculcado temor en los estudiantes de secundaria y preparatoria de todo el mundo. Sin embargo, ninguna otra actividad causó más pavor que la inevitable disección, que es capaz de hacer que los activistas de los derechos de los animales se enfurezcan y los estudiantes mareados pierdan la conciencia.

Por suerte, las disecciones en matemáticas son muchísimo menos controvertidas (pero solo apenas menos desarregladas).
Los estudiantes deben estar familiarizados con el concepto básico del principio de Cavalieri, especialmente cuando se aplica a objetos sólidos oblicuos. Lo que probablemente no sepan es que podemos usar el principio de Cavalieri para hallar el volumen de una esfera. Comenzaremos con un cilindro de radio r y altura de 2r. Dentro de este, colocaremos dos conos, cada uno con una altura y un radio de r.

Si pasamos un plano a través del cono superior de modo que el círculo tenga un radio de b, podemos calcular el área del anillo matizado como π(r² –b²).

Ahora miremos a nuestra esfera con radio r.

La sección transversal que es b arriba del círculo grande. Podemos llamar al radio de la sección transversal x y construir un triángulo rectángulo con catetos b y x e hipotenusa r. Sabemos que x² + b² = r² (gracias, Pitágoras) o x² = r² – b². Si multiplicamos ambos catetos por π, deberíamos obtener el área de la sección transversal, A = πx² = π(r² – b²).

¿Te suena conocido? Esta es la misma área que la del anillo de arriba. Y como llegaríamos a la misma conclusión para cualquier b, según el principio de Cavalieri, el volumen de nuestra esfera es igual al volumen del sólido entre los conos y nuestro cilindro, lo que significa V = 2πr³ – ⅔πr³ = ⁴⁄₃πr³.

Los estudiantes pueden seguir un proceso similar para otras figuras sólidas. Por ejemplo, ¿pueden aplicar el principio de Cavalieri para hallar la fórmula de volumen para un tetraedro regular?

Trabajar con algunas de estas derivaciones ayudará a los estudiantes a entender mejor las fórmulas de volumen. Las fórmulas de volumen no salieron de la nada y saber cómo derivarlas no solo solidificará (juego de palabras a propósito) su entendimiento del volumen, sino que también hará innecesario memorizar estas fórmulas. Si alguna vez se quedan atorados, contarán con las herramientas para derivar las fórmulas en lugar de tener que recordarlas.

Es posible que los estudiantes se quejen de lo desorganizadas que son estas derivaciones, pero ni se compara a lo que sería disecar un sapo. ¡Qué asco!