7. Aplica la regla de la suma, P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B) e interpreta la respuesta en términos del modelo.

No se subsana un error con otro, pero en algunos casos, la suma de dos cosas correctas puede llevar a un error, especialmente en el mundo de la probabilidad. Los estudiantes ya saben la regla de la multiplicación de probabilidades aplicando la idea de probabilidades condicionales. Ahora, necesitan la regla de la suma.

Si tenemos dos eventos A y B con probabilidades P(A) = 0.5 y P(B) = 0.75, luego P(A) + P(B) = 1.25 también debería ser una probabilidad. Pero dado que las probabilidades deben estar en el intervalo [0, 1], una probabilidad de 1.25 no significa nada.

¿Por qué sucede esto? Si vemos un diagrama de Venn de los eventos A y B, P(A) corresponde al número de resultados en el círculo A dividido por el número total de resultados. P(B) corresponde al número total de resultados en el círculo B dividido por el número total de resultados. El problema es que P(A) y P(B) tienen algunos de los resultados en común. Cuando se suman las dos probabilidades, hemos duplicado esas probabilidades.

¿Lo ves? La suma de dos cosas correctas lleva a un error. 

Ya hemos representado esas probabilidades dos veces, así que podemos aplicar una operación simple para arreglar la fórmula: sencillamente, resta el número de resultados que comparten A y B.

Los estudiantes pueden usar diagramas de Venn y lógica matemática para entender y usar la fórmula de la suma. Usaremos diagramas de Venn para ilustrar la idea y luego crear la fórmula.

Los resultados que pertenecen a A más los resultados que pertenecen a B menos los resultados que pertenecen a A y B equivalen a todos los resultados que pertenecen a A o B. En términos de probabilidades, lo podemos escribir así:

P(A) + P(B) – P(A y B) = P(A o B)

Tienes una caja de frutas y verduras. Las frutas (F) son manzanas (M) y naranjas (N), mientras que las verduras (V) son zanahorias (Z) y brócoli (B). Ya sabes P(M), P(N), P(Z) y P(B), que representan las probabilidades de sacar esa fruta o verdura en particular de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que elijas una fruta?

Al aplicar la ecuación de la suma, nos queda lo siguiente:

P(M) + P(N) – P(M y N) = P(M o N) = P(F)

Desde ya, P(M y N) = 0, ya que la fruta es o una manzana o una naranja. No hay Frankenfrutas híbridas en esta caja. Si hacemos un diagrama de Venn en términos de la fruta, veríamos que M y N no comparten ningún espacio. Los círculos no se intersectan.

Para los estudiantes, la comprensión funcional de la regla de la suma incluye el reconocer que al sumar probabilidades se puede llegar a duplicar los resultados si los dos grupos comparten resultados. Una vez que reconozcan este problema, deberían poder aplicar la fórmula de la suma y con suerte incluso derivarla por sí mismos.