a. Usa el proceso de factorización y compleción del cuadrado en una función cuadrática para mostrar los ceros, los valores extremos y la simetría de la gráfica, y para interpretarlos en términos de un contexto.

Los estudiantes deben encontrar las intersecciones x de una función cuadrática tanto factorizando como completando el cuadrado. Lo único que debemos dar a los estudiantes es la forma estándar de una ecuación cuadrática, como y = ax² + bx + c.

Cuando a = 1, factorizar es bastante fácil. La ecuación puede ser factorizada en forma de y = (x + p)(x + q), en la que p + q = b y pq = c. Por ejemplo, si tenemos la ecuación y = x² – 9x + 18, necesitaríamos valores p y q para que p + q = -9 y pq = 18. Si verificamos con rapidez, veremos que p = -3 y q= -6 son los valores que tienen lógica. Así que nuestra ecuación factorizada es y = (x – 3)(x – 6).

Como y = 0 en las intersecciones con el eje x, podemos establecer la forma factorizada de nuestra ecuación como igual a cero. La ecuación completa será cero cuando ninguno (o ambos) factores sean cero. Podemos encontrar las raíces resolviendo cada factor de x. Los factores x – 3 = 0 y x – 6 = 0 significan que nuestras intersecciones con el eje x son 3 y 6.

Completar el cuadrado es otra manera de factorizar. A partir de la forma estándar de la ecuación y = ax² + bx + c, podemos usar los siguientes pasos para crear un trinomio cuadrado perfecto y resolver las intersecciones con el eje x de esa manera.

1. Establece y = 0.

2. Divídelo por a (el coeficiente adelante de x² debe ser 1).

3. Sustrae la constante de ambos lados.

4. Reescribe la función en forma de x² + 2hx + h².

5. Reescribe la función en forma de (x + h)².

6. Saca la raíz cuadrada de ambos lados.

Resulta que completar el cuadrado es una manera directa de derivar la ecuación cuadrática. Genial, ¿no?

También podemos describir los valores extremos de una función o el vértice de la parábola. Si volvemos a la forma original de la ecuación, y = ax² + bx + c, las coordenadas del vértice se pueden escribir así: 

Si observamos la otra forma de la ecuación, y = (x + h)², podemos decir que el eje de simetría se encuentra en x = -h.

Se puede extraer toda esa información de las distintas formas de escribir una ecuación cuadrática. Si los estudiantes se confunden con los múltiples términos de una ecuación cuadrática, la forma estándar debe ser su punto de referencia. A partir de ahí, pueden llegar adonde quieran y encontrar lo que necesiten.